RequirementsAlgèbre
Program requirementsCC+examen
TeacherMarc Hindry
Weekly hours 2 h CM , 2.5 h TD
Years M1 mathématiques (MFA)

Syllabus

Ce cours introduit les thèmes de l’arithmétique ancienne et moderne :

  • La distribution des nombres premiers (dont le théorème des nombres premiers et le théorème de la progression arithmétique).
  • La réciprocité quadratique dans le cadre de l’arithmétique modulaire.
  • La théorie effective des nombres : méthodes algorithmiques en arithmétique.
  • Les équations diophantiennes classiques (formes quadratiques, équation de Pell, équations de type Fermat, contributions de Sophie Germain, etc.).

L’objectif est aussi de montrer la puissance des outils modernes face à des problèmes anciens voire antiques.

Contents

  • Nombres premiers

    • Fonction zêta.
    • Théorème des nombres premiers.
    • Théorème de la progression arithmétique.
    • Loi de réciprocité quadratique.

  • Théorie des nombres effective

    • Communications sécurisées modernes.
    • Critères de primalité.
    • Rappels sur les corps finis (existence, unicité, caractère cyclique du groupe multiplicatif).
    • Irréductibilité des polynômes à coefficients dans un corps fini. 
    • Vers les courbes elliptiques.

  • Équations diophantiennes

    • Équation de Brahmagupta-Pell-Fermat.
    • Quelques cas particuliers de l'équation de Fermat : 
      • Diophante $x^2+y^2=z^2$,
      • al-Khujandi $x^3+y^3=z^3$ et
      • Fermat $x^4+y^4=z^4$
    • Théorème de Sophie Germain.
    • Représentation d'un entier en somme de deux et quatre carrés.

Bibliography

  • Hindry, M. (2008). Arithmétique. Calvage & Mounet.
  • Ireland, & K. Rosen, M. (2010).A classical introduction to number theory. Springer
  • Mordell, L.J. (1969).Diophantine equations. Academic press.
  • Hardy, G.H. Wright, E.M. (2008). An introduction to the theory of numbers. Clarendon press
  • Boyer, P. (2019). Petit compagnon des nombres et applications. Calvage & Mounet.