Ce cours introduit les thèmes de l’arithmétique ancienne et moderne :

La distribution des nombres premiers (dont le théorème des nombres premiers et le théorème de la progression arithmétique).
La réciprocité quadratique dans le cadre de l’arithmétique modulaire.
La théorie effective des nombres : méthodes algorithmiques en arithmétique.
Les équations diophantiennes classiques (formes quadratiques, équation de Pell, équations de type Fermat, contributions de Sophie Germain, etc.).

L’objectif est aussi de montrer la puissance des outils modernes face à des problèmes anciens voire antiques.

Nombres premiers
- Fonction zêta.
- Théorème des nombres premiers.
- Théorème de la progression arithmétique.
- Loi de réciprocité quadratique.
Théorie des nombres effective
- Communications sécurisées modernes.
- Critères de primalité.
- Rappels sur les corps finis (existence, unicité, caractère cyclique du groupe multiplicatif).
- Irréductibilité des polynômes à coefficients dans un corps fini.
- Vers les courbes elliptiques.
Équations diophantiennes
- Équation de Brahmagupta-Pell-Fermat.
- Quelques cas particuliers de l'équation de Fermat :
  - Diophante $x^2+y^2=z^2$,
  - al-Khujandi $x^3+y^3=z^3$ et
  - Fermat $x^4+y^4=z^4$
- Théorème de Sophie Germain.
- Représentation d'un entier en somme de deux et quatre carrés.

Hindry, M. (2008). Arithmétique. Calvage & Mounet.
Ireland, & K. Rosen, M. (2010).A classical introduction to number theory. Springer
Mordell, L.J. (1969).Diophantine equations. Academic press.
Hardy, G.H. Wright, E.M. (2008). An introduction to the theory of numbers. Clarendon press
Boyer, P. (2019). Petit compagnon des nombres et applications. Calvage & Mounet.

Arithmétique

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