Program requirementsCC+examen
TeacherOmar Mohsen
Weekly hours 2 h CM , 2.5 h TD
Years M1 mathématiques (MFA)

Syllabus

En topologie, on étudie les propriétés des espaces qui sont préservées quand on leur applique des déformations continues. Par exemple toutes les sphères dans l'espace, quel que soit leur centre ou leur rayon, sont "les mêmes" du point de vue de la topologie. En revanche elles sont différentes du tore (qui a une forme de doughnut) puisque celui-ci a un "trou". Le premier objectif du cours sera de donner un sens précis à cette affirmation. On s'apercevra rapidement que la notion d'égalité des applications continues est trop restrictive, et on introduire la relation d'homotopie. C'est une notion profonde et fondamentale qui a aujourd'hui largement dépassé le cadre de la topologie et apparait aussi en théorie des catégories, en algèbre homologique, en géométrie algébrique et dans bien d'autres domaines.

On introduira ensuite la notion de groupe fondamental. C'est un groupe associé à un espace topologique qui contient beaucoup d'informations sur cet espace, et c'est ce qui justifie l'adjectif "algébrique" dans le titre de ce cours. On verra un ensemble de techniques qui permettent de calculer ce groupe, et un exemple important d'application à la théorie des revêtements finis (qui a beaucoup de similarités avec la théorie de Galois en algèbre). On en profitera pour introduire quelques notions de théorie des catégories.

Contents

  • Rappels de topologie générale
  • Constructions d'espaces
  • Un petit peu de théorie des catégories
  • Homotopies et group(oïd)e fondamental
  • Théorèmes de van Kampen
  • Revêtements finis
  • Si le temps le permet : introduction à l'homologie des espaces topologiques

Bibliography