Program requirementsCC+examen
TeacherFrédéric Hélein
Weekly hours 3 h CM , 4 h TD
Years M1 mathématiques (MFA)

Syllabus

Ce cours fournit les bases de la géométrie différentielle moderne, en partant de la géométrie des sous-variétés de $ℝⁿ$ jusqu’à la notion abstraite de variété différentielle.

Plus précisément, il s'agit de :

  • Introduire la notion de variété différentielle, en la séparant du cadre euclidien.
  • Étudier les fonctions différentiables entre variétés, les applications immersives, submersives et les difféomorphismes.
  • Développer la structure locale et les outils différentiels fondamentaux : champs de vecteurs, formes différentielles, différentielle d'une application.
  • Présenter les premières notions de topologie différentielle (connexité, compacité, partition de l’unité).
  • Comprendre les objets géométriques invariants sous changement de carte : fibrés tangent et cotangent.
  • Poser les bases de la géométrie des courbes et surfaces (courbure, géodésiques) et du calcul sur les variétés (théorèmes de Stokes, Poincaré).

Ce cours prépare à des domaines variés :

  • géométrie riemannienne,
  • physique mathématique (relativité, mécanique lagrangienne),
  • théorie des systèmes dynamiques,
  • géométrie symplectique,
  • analyse sur les variétés,
  • certains dévelopements de statistique,
  • ou encore géométrie algébrique.

Contents

  • « Rappels » sur courbes paramétrées.

    Courbes dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ (Frenet-Serret), abscisse curviligne, cercle osculateur, courbure, ...polaires....

  • Rappels et compléments de calcul différentiel dans $\mathbb{R}^n$ 

    Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites, submersions et immersions d'ouverts de $\mathbb{R}^n$

  • Sous-variétés de $\mathbb{R}^n$

    Diverses définitions (graphe, représentation paramétrique, redressement, équations) et leur équivalence ; cartes locales. Exemples fondamentaux des surfaces dans $\mathbb{R}^3$, plan tangent, exemples, différents modes de définition

  • Variétés différentiables

    Cartes locales, atlas. Fonctions sur ces variétés. Morphismes de variétés. Sous-variétés. Les sous-variétés sont des variétés. Exemples : espaces projectifs, quotient par un groupe discret opérant sans point fixe ; revêtement.

  • Courbe dans variété, espace tangent, fibré tangent.

    Le fibré tangent est une variété, application tangente à un morphisme. Fibré cotangent.

  • Champs de vecteurs

    Courbes intégrales. Flot d'un champ de vecteurs. Crochet de Lie. Groupes à un paramètre de difféomorphismes.

  • Si le temps le permet :

    • Partition de l'unité. Plongement d'une variété abstraite comme sous-variété d'un espace $\mathbb{R}^n$.
    • Notions métriques sur les surfaces : courbures principales et courbure de Gauss, theorema egregium de Gauss (la courbure de Gauss se calcule à partir de la métrique)
    • Notion de fibré vectoriel, exemples,
    • Introduction aux groupes de Lie : groupes de Lie, algèbres de Lie, application exponentielle, espaces homogènes.
    • Formes différentielles : différentielle extérieure, orientation, intégration des formes différentielles, formule de Stokes, applications. Cohomologie de de Rham.

Bibliography

  • Do Carmo, M. P., & Flaherty Francis, J. (1992). Riemannian geometry (Vol. 2). Boston: Birkhäuser.
  • Do Carmo, M. P. (2016). Differential geometry of curves and surfaces. Courier Dover Publications.
  • Lafontaine, J. (2015). An introduction to differential manifolds. New York: Springer.
  • Polycopié de F. Hélein