Requirements- Licence de mathématiques : théorie élémentaire des probabilités, variables aléatoires, lois usuelles
Program requirementsCC+examen
TeacherFanny Augéri
Weekly hours 3 h CM , 4 h TD
Years M1 mathématiques (MFA)

Syllabus

Le calcul des probabilités est un outil de modélisation construit sur des fondements issus de l'analyse: la théorie de la mesure et de l'intégration. L'analyse permet de définir et d'étudier la convergence des suites de variables aléatoires (convergences presque sûre, en probabilité, en loi). Ce cours est illustré par une étude détaillée du comportement des collections de variables indépendantes (loi des grands nombres, théorème central limite). Le cours propose une construction de l'espérance conditionnelle, outil indispensable pour la théorie des martingales, le calcul stochastique, l'inférence bayésienne, et donc pour les mathématiques financières, les statistiques et bien d'autres spécialités. Enfin le cours abordera les inégalités de concentration, outil de la théorie de l'apprentissage.

Ce cours prépare au cours sur les Processus stochastiques et aux domaines qui utilisent la modélisation stochastique : les mathématiques financières, les processus aléatoires, la statistique avancée.

Contents

  • Espaces mesurés et probabilités :

    • espace mesurable, mesure
    • théorème de classe monotone, unicité de mesure
    • mesure de Lebesgue
    • mesure de probabilité, évènement

  • Intégration et mesure produit :

    • construction de l'intégrale contre une mesure,
    • théorèmes de convergence monotone et dominée, lemme de Fatou,
    • espaces $L^p$
    • mesures produits et théorème de Fubini.

  • Variable aléatoire :

    • variable aléatoire et loi
    • espérance, moments
    • fonction de répartition, fonction caractéristique et transformée de Laplace

  • Indépendance :

    • indépendance d'événements, indépendance de tribus
    • variables aléatoires indépendantes
    • lemme de Borel-Cantelli, loi du zéro-un

  • Espérance conditionnelle :

    • construction de l'espérance conditionnelle
    • propriétés de l'espérance conditionnelle
    • calculs d'espérances conditionnelles

  • Convergence de variables aléatoires :

    • convergence presque sûre, en probabilité et dans $L^p$,
    • loi des grands nombres

  • Convergence en loi et théorème centrale limite :

    • convergence en loi
    • liens avec les autres notions de convergence
    • théorème de Lévy, théorème centrale limite

  • Vecteurs aléatoires, vecteurs gaussiens :

    • vecteurs aléatoires, matrice de covariance
    • vecteurs gaussiens
    • espérance conditionnelle de vecteurs gaussiens

Bibliography

  • Berger, Q., Caravenna, F., & Dai Pra, P. (2021). Probability. Springer.
  • Briane M. et Pagès G. (2020). Théorie de l'intégration : Licence de Mathématiques : cours et exercices. Editions Vuibert.
  • Le Gall J.F. (2006). Intégration, Probabilités et processus aléatoires, DMA Ecole Normale Supérieure.
  • Tao, T. (Ed.). (2011). An introduction to measure theory (Vol. 126). American Mathematical Soc..
  • Williams D. (2019). Probability with Martingales. Cambridge University Press.
  • Williams D. (2012). Weighing the Odds. Cambridge University Press.