Archive 2022
PrérequisAnalyse
ValidationCC+examen
EnseignantAlessandro Zilio
Horaires hebdomadaires 4 h CM , 5 h TD
Années M1 mathématiques (MFA)

Syllabus

Modéliser un phénomène à l'aide d'un système d'équations différentielles ordinaires et/ou à l'aide équations aux dérivées partielles. Caractériser l'existence, l'unicité des solutions. Caractériser les propriétés de ces éventuelles solutions. Approcher numériquement ces solutions par des algorithmes stables et efficaces. Coder ces algorithmes. Utiliser les bibliothèques de résolution disponibles en Scilab/Python.

Sommaire

  • Méthodes numériques pour des équations différentielles ordinaires (EDO) et systèmes d'EDO
    • Modélisation et exemples d'EDOs
    • Le théorème d'existence et unicité des solutions (Cauchy-Lipschitz)
    • Étude générale de méthodes numériques à un pas (exemples : Euler, point milieu)
    • Méthodes à un pas d'ordre élevé de Runge-Kutta.
    • Programmation en SciLab/Python.
  • Méthode des différences finies en dimension un, pour des problèmes elliptiques et paraboliques
    • Modélisation et exemples d'EDPs
    • Notion de consistance, stabilité, convergence
    • Étude du $\theta$-schéma. Condition CFL
    • Principe du maximum. Décentrage
    • Programmation en SciLab/Python.
  • Solutions faibles des problèmes aux limites pour les équations elliptiques
    • Formules d'intégration par parties : Stokes, Green-Gauss, Ostrogradski
    • Dérivation au sens faible. L'espace $H^1$. Propriétés : densité des fonctions régulières, injec- tions continues et compactes, théorème de trace, inégalité de de Poincaré.
    • Problèmes aux limites : solutions faibles. Théorème de Lax-Milgram. Existence et unicité. Régularité.
  • Méthodes des éléments finis en dimension quelconque pour les équations elliptiques
    • Présentation axiomatique de la méthode des éléments finis
    • Convergence et estimations d'erreur dans $H^1$
    • Estimations d'erreur dans $L_2$
    • Mise en oeuvre de la méthode. Programmation en Scilab/Python en dimension $d = 1$ et Freefem++ pour $d \geq 2.$

Bibliographie

  • Demailly J.P. (2016). Analyse numérique et équations différentielles. EDP sciences.
  • Le Dret H., Lucquin B. (2016). Partial Differential Equations : Modeling, Analysis and Numerical Approximation. Birkhauser.
  • Raviart, P. A., and Thomas, J. M. (1983). Introduction à l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles. Dunod.
  • Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. (2000). Numerical mathematics. Springer.