ValidationCC+examen
EnseignantMaxime Laborde
Horaires hebdomadaires 2 h CM , 2.5 h TD
Années M1 mathématiques (MFA)

Syllabus

ans de nombreux domaines (physique, économie, biologie, mouvements de population, imagerie, etc) les équations différentielles jouent un rôle central pour modéliser l’évolution d’un système. Cependant, que ce soit pour les équations différentielles ordinaires (EDO) ou les équations aux dérivées partielles (EDP), les solutions exactes sont rarement explicites. Il est nécessaire de recourir à des méthodes numériques pour obtenir des approximations exploitables.

Ce cours présente plusieurs méthodes numériques permettant d'approcher les solutions exactes de ces équations. Nous commencerons par l’étude de schémas de discrétisation de types différences finies. Dans ce cadre, deux notions fondamentales seront introduites : (1) la consistance, qui mesure à quel point un schéma numérique reproduit fidèlement l’équation d’origine, et (2) la stabilité, qui contrôle le comportement de l’erreur numérique au fil des itérations ou du temps. Ces deux propriétés, combinées, vont nous permettre de garantir la convergence des solutions approchées vers la solution exacte de l'équation.

Dans un second temps, nous aborderons des méthodes plus avancées, comme celle des éléments finis, basées sur la formulation faible des EDP. Cette approche permet de traiter des équations avec des données moins régulières et d'obtenir des estimations de convergence dans des espaces plus faibles tels que les espaces de Sobolev.

Le cours (cours magistral et travaux dirigés) est complété par des séances de TP en Python où vous aurez la possibilité de coder toutes les méthodes introduites.

  • Savoir écrire un schéma numérique pour approcher une EDO ou une EDP,
  • Savoir étudier la convergence ainsi que l'ordre de convergence du schéma.
  • Savoir programmer en Python les différentes méthodes.

Sommaire

  • Méthodes numériques pour des équations différentielles ordinaires (EDO) et systèmes d'EDO
    • Modélisation et exemples d'EDOs
    • Le théorème d'existence et unicité des solutions (Cauchy-Lipschitz)
    • Étude générale de méthodes numériques à un pas (exemples : Euler, point milieu)
    • Méthodes à un pas d'ordre élevé de Runge-Kutta.
    • Programmation en Python.
  • Méthode des différences finies en dimension un, pour des problèmes elliptiques et paraboliques
    • Modélisation et exemples d'EDPs
    • Notion de consistance, stabilité, convergence
    • Étude du $\theta$-schéma. Condition CFL
    • Principe du maximum. Décentrage
    • Programmation en Python.
  • Solutions faibles des problèmes aux limites pour les équations elliptiques
    • Formules d'intégration par parties : Stokes, Green-Gauss, Ostrogradski
    • Dérivation au sens faible. L'espace $H^1$. Propriétés : densité des fonctions régulières, injec- tions continues et compactes, théorème de trace, inégalité de de Poincaré.
    • Problèmes aux limites : solutions faibles. Théorème de Lax-Milgram. Existence et unicité. Régularité.
  • Méthodes des éléments finis en dimension quelconque pour les équations elliptiques
    • Présentation axiomatique de la méthode des éléments finis
    • Convergence et estimations d'erreur dans $H^1$
    • Estimations d'erreur dans $L_2$
    • Mise en oeuvre de la méthode. Programmation en Python en dimension $d = 1$ et Freefem++ pour $d \geq 2.$

Bibliographie

  • Demailly J.P. (2016). Analyse numérique et équations différentielles. EDP sciences.
  • Le Dret H., Lucquin B. (2016). Partial Differential Equations : Modeling, Analysis and Numerical Approximation. Birkhauser.
  • Raviart, P. A., and Thomas, J. M. (1983). Introduction à l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles. Dunod.
  • Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. (2000). Numerical mathematics. Springer.