Algèbre effective

Syllabus

Ce cours concerne l'étude de structures algébriques de base (groupes et anneaux) et de leurs propriétés. On met l'accent sur les manipulations effectives.

Sommaire

• Arithmétique de base
  • rappels sur la division euclidienne, pgcd, ppcm
  • structure de $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^*$
  • petit théorème de Fermat et tests de primalité
  • symbole des Legendre et de Jacobi, réciprocité quadratique
• Théorie des anneaux
  • anneaux intègres, euclidiens, principaux, factoriels
  • anneaux des polynômes et anneaux quotients
  • idéaux premiers et maximaux, anneau des fractions
  • irréductibilité dans $\mathbb{Z}[x]$ et $\mathbb{Q}[x]$.
• Théorie des corps
  • caractéristique, degrée
  • corps de rupture et adjonction d'un élément
  • exemples en caractéristique p et 0
  • polynômes cyclotomiques
• Corps finis
  • existence et unicité de $\mathbb{F}_{p^n}$
  • automorphisme de Frobenius
  • racines des polynômes à coefficients dans $\mathbb{F}_{p^n}$
  • théorie de Galois des corps finis).
• Éléments de théorie de Galois
  • extensions séparables et normales
  • théorème de l’élément primitif (sans démonstration)
  • groupe de Galois; correspondance de Galois (avec quelque idées de la preuve)
  • groupe de Galois des polynôme de dégrée 3
  • exemples et applications de la théorie de Galois
• $\mathbb{Z}$-modules de type fini
  • formes normales de Hermite, de Smith
  • théorème de structure des groupes abéliens finis

Bibliographie

• Lang, Algebra
• Cox, Galois theory

• inscriptions
• calendrier
• accès
• Questions fréquentes