Prérequisgroupes, anneaux, algèbre linéaire
ValidationCC+examen
EnseignantRiccardo Brasca
Horaires hebdomadaires 4.5 h CTD
Années M1 Mathématiques et Informatique M1 MIC

Syllabus

Ce cours concerne l'étude de structures algébriques de base (groupes et anneaux) et de leurs propriétés. On met l'accent sur les manipulations effectives.

Sommaire

  • Arithmétique de base
    • rappels sur la division euclidienne, pgcd, ppcm
    • structure de $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^*$
    • petit théorème de Fermat et tests de primalité
    • symbole des Legendre et de Jacobi, réciprocité quadratique
  • Théorie des anneaux
    • anneaux intègres, euclidiens, principaux, factoriels
    • anneaux des polynômes et anneaux quotients
    • idéaux premiers et maximaux, anneau des fractions
    • irréductibilité dans $\mathbb{Z}[x]$ et $\mathbb{Q}[x]$.
  • Théorie des corps
    • caractéristique, degrée
    • corps de rupture et adjonction d'un élément
    • exemples en caractéristique p et 0
    • polynômes cyclotomiques
  • Corps finis
    • existence et unicité de $\mathbb{F}_{p^n}$
    • automorphisme de Frobenius
    • racines des polynômes à coefficients dans $\mathbb{F}_{p^n}$
    • théorie de Galois des corps finis).
  • Éléments de théorie de Galois
    • extensions séparables et normales
    • théorème de l’élément primitif (sans démonstration)
    • groupe de Galois; correspondance de Galois (avec quelque idées de la preuve)
    • groupe de Galois des polynôme de dégrée 3
    • exemples et applications de la théorie de Galois
  • $\mathbb{Z}$-modules de type fini
    • formes normales de Hermite, de Smith
    • théorème de structure des groupes abéliens finis

Bibliographie

  • Lang, Algebra
  • Cox, Galois theory