PrérequisGéométrie différentielle et Riemannienne.
Validationexamen
EnseignantPaul Laurain
Horaires hebdomadaires 4 h CM
Années

Syllabus

On propose une introduction à la géométrie sous-riemannienne, notamment autour des questions de l'existence, caractérisation et régularité des géodésiques sous-riemanniennes. On introduira notamment le formalisme hamiltonien, qui est le langage naturel pour traiter ce genre de problèmes.

Prérequis:

Géométrie différentielle et Riemannienne (le cours de J. Marché à P6 ou [2] chapitres1-6, ou encore [1]) Équations aux dérivées partielles principalement elliptiques (Le cours de Yves Achdou & Xavier Blanc à P7 ou [3] chapitres 5-6)

Sommaire

  • Le problème isopérimétrique et le groupe de Heisenberg
  • Distributions vectorielles : théorèmes de Frobenius et de Rashewskii-Chow
  • Distance sous-riemannienne : définitions et propriétés fondamentales
  • Géodésiques : existence et conditions nécessaires du premier ordre
  • Géométrie symplectique et formulation hamiltonienne : géodésiques normales et anormales
  • Les géodésiques normales sont lisses et localement minimizantes
  • Autour de la régularité des géodésiques anormales et problèmes ouverts.

Bibliographie

  • Thierry Aubin. A course in differential geometry, volume 27 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
  • Manfredo Perdigão do Carmo. Riemannian geometry. Mathematics : Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty.
  • Lawrence C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, second edition, 2010.