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Syllabus

Le calcul des probabilités est un des principaux outils de modélisation des phénomènes complexes, dans des disciplines aussi diverses que la physique statistique, la biologie, l’écologie, l’économie, la finance, etc. Souvent, il est nécessaire d’étudier l’évolution temporelle de quantité soumises à un aléa, ce qu’on appelle des processus stochastiques.

La première partie du cours introduira les deux grandes familles de processus stochastiques utilisées en modélisation : les martingales et les chaînes de Markov. Cette première partie du cours exposera leurs principales propriétés et les grands théorèmes sur leur comportement en temps long. Au-delà de la compréhension théorique, l’accent est mis sur la capacité à appliquer ces concepts à des problèmes concrets et parfois complexes.

La seconde partie du cours revisitera de manière plus avancée certaines notions sur la convergence de variables aléatoires vues dans le cours de Probabilités I. Cette seconde partie présentera plusieurs théories mathématiques sur la convergence des suites de variables aléatoires (versions élaborées du théorème central limite vu en Licence, inégalités de concentration, théorie des grandes déviations). Les séances de travaux dirigés présenteront des applications des théorèmes vus en cours à des situations concrètes (files d’attente, modèles stochastiques en finance, biologie et physique, étude concrète de systèmes dynamiques stochastiques, etc)

Ce cours de probabilités avancées introduit les notions qui forment le socle des développements en théorie des probabilités, en statistique, et mathématiques financières.

Sommaire

  • Martingales
    • Filtrations
    • (Sous/sur)-martingales, processus prévisibles
    • Temps d’arrêt, théorème d’arrêt
    • Théorèmes de convergence de martingales (surmartingales positives, martingales bornées dans 𝐿1 et dans 𝐿2 )
    • Martingales uniformément intégrables
  • Chaînes de Markov
    • Chaînes de Markov à temps discret sur des espaces d’états dénombrables (ou finis)
    • Propriété de Markov forte
    • Mesures invariantes, classification des états
    • Théorème ergodique
    • Martingales et chaines de Markov : fonctions harmoniques, applications aux temps de sortie
  • Topologie de la convergence étroite
    • Notion de mesure régulière, définition de la topologie de la convergence étroite sur des espaces métriques. Théorème de Portemanteau.
    • Métrisabilité et séparabilité de l’espaces des mesures de probabilité boréliennes.
    • Tension et théorème de Prokhorov.
    • Théorème de représentation de Skorokhod
  • Théorèmes limites Ce chapitre présentera une sélection de sujets parmi :
    • Généralisations du théorème central limite : TCL de Lindeberg, TCL local, théorème de Berry-Esseen, TCL pour les martingales et chaînes de Markov
    • Lois infiniment divisibles et TCL stable
    • Introduction à la théorie des grandes déviations
    • Inégalités de concentration : exemples et applications

Bibliographie

  • Dudley, R. M. (2018). Real analysis and probability. Chapman and Hall/CRC.
  • Le Gall J.F. (2006). Intégration, Probabilités et processus aléatoires, DMA Ecole Normale Supérieure.
  • Norris, J. R. (1998). Markov chains (No. 2). Cambridge university press.
  • Williams, D. (1991). Probability with martingales. Cambridge university press