PrérequisCalcul différentiel, intégration, analyse hilbertienne
ValidationCC+examen
EnseignantXavier Blanc
Horaires hebdomadaires 3 h CM , 4 h TD
Années M1 mathématiques (MFA)

Syllabus

Ce cours vise à :

  • Introduire la théorie des distributions pour traiter les EDP en présence de données irrégulières.
  • Présenter les notions de transformée de Fourier généralisée, convolution, et opérateurs différentiels dans le cadre des distributions.
  • Étudier la théorie spectrale des opérateurs (principalement autoadjoints, non bornés) dans des espaces de Hilbert, en vue de l’analyse des opérateurs différentiels linéaires.
  • Appliquer ces outils aux équations aux dérivées partielles linéaires classiques: équations de Poisson, de la chaleur, des ondes, Laplace, etc.

Sommaire

  • Théorie des distributions

    • L'espace des fonctions tests $\mathcal{D}(\Omega)$, des distributions $\mathcal{D}'(\Omega)$. Exemples (fonctions localement intégrables, masse de Dirac, valeur principale ...).
    • Opérations sur les distributions : translation, multiplication par une fonction, homothétie, dérivation.
    • Convergence des suites.
    • Support d'une distribution.

  • Analyse spectrale

    • Opérateurs bornés sur un espace de Banach, spectre, résolvante.
    • Opérateurs compacts. Décomposition spectrale des opérateurs autoadjoints compacts

  • EDP : solutions dans $\mathbb{R}^d$

    • Équations de Laplace, de la chaleur, des ondes résolues explicitement avec des fonctions de Green.
    • Principe du maximum pour les équations elliptiques.
    • Equation de transport avec la méthode des caractéristiques.

  • Espaces de Sobolev (cadre hilbertien)

    • Espaces $H^s(\Omega)$ : définition, caractérisation en Fourier quand $\Omega = R^d$, injections (dont théorème de Rellich).
    • L'espace $H^1_0(\Omega)$, inégalité de Poincaré.

  • Equation de Laplace : solutions dans un ouvert borné

    • Solutions de $\Delta u = f$ dans $H^1_0$. Régularité $H^2$.
    • Base de fonctions propres du Laplacien.

  • EDP d'évolution linéaires (Ondes et Chaleur)

    • Méthode de Galerkin
    • Résolution explicite avec la base de fonctions propres du Laplacien.

Bibliographie

  • Brezis, H. (1983). Analyse fonctionnelle. Théorie et applications.
  • Brézis, H. (2011). Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. New York: Springer.
  • Evans, L. C. (2010). Partial differential equations. AMS
  • Adams, R. A., & Fournier, J. J. (2003). Sobolev spaces. Elsevier.
  • Gilbarg, D., & Trudinger, N. S. (2015). Elliptic partial differential equations of second order. Springer.