ValidationCC+examen
EnseignantLoïc Merel
Horaires hebdomadaires 3 h CM , 4 h TD
Années M1 mathématiques (MFA)

Syllabus

  • Approfondir la théorie des anneaux et de leurs idéaux,
  • introduire les algèbres associatives sur un corps ou un anneau,
  • étudier la théorie des modules, généralisant les espaces vectoriels,
  • développer les outils pour aborder l’algèbre homologique, la géométrie algébrique ou la théorie des représentations.

Ce cours insiste sur deux aspects :

  • étude approfondie de la divisibilité dans les anneaux (anneaux factoriels, notamment),
  • modules de type fini sur un anneau principal, application à l’algèbre linéaire ($K[T]$-modules) et aux groupes abéliens de type fini ($Z$-modules).

Ce cours est fondamental pour la poursuite d’études en algèbre avancée, géométrie algébrique, théorie des nombres, algèbre homologique ou topologie algébrique.

Ce cours fournit des outils essentiels pour les recherches modernes en mathématiques pures ou appliquées (cryptographie, codage, systèmes dynamiques, physique mathématique, etc.).

Sommaire

  • Anneaux et Algèbres

    • Généralités et constructions.
    • Définitions.
    • Anneaux de fractions, anneaux quotients.
    • Algèbre de polynômes, polynômes symétriques, expression en fonction des polynômes symétriques élémentaires.
    • Résultants, discriminants. Théorème des zéros de Hilbert
    • Idéaux premiers, idéaux maximaux.
    • Divisibilité : anneaux euclidiens, principaux, factoriels. Caractère factoriel des anneaux de polynômes.
    • Irréductibilité des polynômes. Contenu (Eisenstein, réduction des coefficients).

  • Modules

    • Définitions, constructions élémentaires, matrices.
    • Reprise du vocabulaire d’algèbre linéaire (familles libres, familles génératrices, bases, modules libres).
    • Propriétés noethérienne. Théorèm de transfert de Hilbert. Modules simples, longueur, théorème de Jordan-Hölder.
    • Modules de type fini sur un anneau principal, point de vue suites exactes.
    • Cas euclidien : formes normales de Hermite (sur un corps, forme réduite échelonnée) et de Smith.
    • Application : Z-modules (groupes abéliens de type fini) et $K[T]$-modules de type finie (algèbre linéaire) et applications.

  • Réseaux ou Courbes algébriques planes (Théorème de Bezout) (optionnel).