Introduire les fondements de la théorie des corps et des extensions algébriques.
Étudier la théorie de Galois et sa correspondance entre corps et groupes.
Appliquer ces concepts à la résolubilité des équations polynomiales, à l’étude des corps finis, et à des théorèmes fondamentaux de l’algèbre.

Extensions de corps : définition, degré d’une extension, $K[a_1, \ldots , a_n]$ et $K(a_1, \ldots a_n)$.
Extensions algébriques: éléments algébriques et transcendants sur un corps, polynôme minimal et son irréductibilité,
Théorème : $L/K$ extension de corps, $K′$ l'ensemble des éléments de $L$ algébriques sur $K$, alors $K′$ est un corps.
Définition d’une clôture algébrique d’un corps $K$ (juste la définition, pas l’existence ni l’unicité à $K$-isom près).
Corps de rupture et corps de décomposition : corps de décomposition d’un polynôme irréductible de $K[X]$, existence et unicité à $K$-isom près.
Corps de décomposition : définition, existence et « unicité », extensions normales.
Corps finis. Donner un aspect « pratique » à la théorie : apprendre à construire des corps finis, à déterminer un générateur du groupe multiplicatif, etc.
Extensions sépararables, théorème de l'élément primitif. Cyclotomie.
Groupes de Galois d'un extension, correspondance de Galois
Résolubilités des équations par radicaux, nombres constructibles.
Entiers algébriques (optionnel),

Théorie des corps et théorie de Galois

Informations pratiques