ValidationCC+examen
EnseignantClaire Debord
Horaires hebdomadaires 3 h CM , 4 h TD
Années M1 mathématiques (MFA)

Syllabus

  • Introduire et approfondir les notions de topologie générale utiles en analyse.
  • Préparer les fondements de l’analyse fonctionnelle, en particulier la théorie des espaces vectoriels normés et topologiques.
  • Étudier les premiers grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle linéaire (Hahn-Banach, Baire, Banach-Steinhaus, etc.).
  • Préparer les étudiants à l’analyse moderne, à la théorie de la mesure, à l’analyse des équations différentielles et à la géométrie fonctionnelle.

Ce cours sert de base pour des cours avancés d’analyse fonctionnelle, de théorie spectrale, d’opérateurs linéaires, ou d’analyse harmonique.

Sommaire

Espaces topologiques

  • Définition d'une topologie
    • Exemples (espace métrique, topologies discrète et grossière)
    • Fermés, intérieur et adhérence 
    • Voisinages, parties denses, frontière
    • Sous-espaces topologiques
    • Topologie engendrée, topologie engendrée par une famille d'applications
    • Espaces séparés
  • Limites de fonctions, de suites, unicité de la limite quand l'espace est séparé
  • Continuité,
    • Continuité en un point, continuité globale, caractérisation de la continuité globale avec les ouverts et les fermés
    • Homéomorphismes,
  • Compacts
  • Connexes
  • Cas des espaces métriques Caractérisation de la continuité et de la compacité pour les espaces métriques.
  • Produit d'espaces topologiques Un produit dénombrable d'espaces métriques est métrisable.
  • Un produit dénombrable de compacts métriques est compact (procédé diagonal).

Espaces de fonctions continues entre espaces métriques

  • L'espace des fonctions continues à valeurs dans un complet est complet.
  • Théorème d'Ascoli.
  • Théorème de Weierstrass (et théorème de Weierstrass trigonométrique).
  • Espaces vectoriels normés et applications linéaires continues Normes. Cas de la dimension finie. Applications linéaires continues.
  • Espaces $\ell^p$ et $L^p$.
  • Espaces de Hilbert
  • Transformée de Fourier sur $L^1$, $L^2$
  • Dualité Formes linéaires continues, Hahn-Banach, convergence faible et faible-$*$ (par les suites, pas besoin de parler de topologie), Théorème de Banach-Alaoglu dans $E'$, avec $E$ espace vectoriel normé séparable

Bibliographie

  • Brezis, H. (1983). Analyse fonctionnelle. Théorie et applications.
  • Brezis, H., & Brézis, H. (2011). Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations (Vol. 2, No. 3, p. 5). New York: Springer.
  • Choquet, G. (1969). Cours d'analyse: première année de maîtrise C1. 2. Topologie: espaces topologiques et espaces métriques, fonctions numériques, espaces vectoriels topologiques. Masson.
  • Rudin, W. (1991). Functional analysis 2nd ed. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York.
  • Schwartz, L. Topologie générale et analyse fonctionnelle. Hermann, Paris, 1970. IECL, UMR CNRS, 7502.
  • Lax, P. (2002) Functional analysis. Wiley Science.