Archive 2022
PrérequisIl serait souhaitable d'avoir au préalable suivi un cours sur les algèbres de Lie ou les groupes algébriques.
Validationexamen
EnseignantOlivier Dudas
Horaires hebdomadaires 2 h CM
Années

Syllabus

Le but de ce cours est d'introduire à la théorie des représentations dite "supérieure", où les espaces vectoriels sont remplacés par des catégories et les actions par des foncteurs. Cette approche permet de démontrer, entre autres : des propriétés de positivité et des identités combinatoires (en "décatégorifiant"), des équivalences entre catégories abéliennes ou triangulées,l'existence de bases "canoniques" pour certaines représentations.

Ce cours s'insère dans la filière "Algèbre, groupes et représentations" mais certaines constructions topologiques (faisceaux constructibles et faisceaux pervers) seront aussi évoquées.

Sommaire

La grande partie du cours sera consacrée aux constructions de Chuang-Rouquier pour les représentations de l'algèbre de Lie sl2, auxquelles seront ajoutées les approches diagrammatiques dûes à Khovanov-Lauda. Le cas général d'une algèbre de Kac-Moody se fera via l'étude les algèbres de Hecke-carquois (appelées aussi algèbres KLR).

Bibliographie

  • [Chuang-Rouquier] Derived equivalences for symmetric groups and sl2-categorification, Annals of Math. 167 (2008).
  • [Etingof-Gelaki-Nikshych-Ostrik] Tensor categories, Mathematical Surveys and Monographs, 205. American Mathematical Society, Providence, RI, 2015.
  • [Khovanov-Lauda] A diagrammatic approach to categorification of quantum groups. I. Represent. Theory  13  (2009), 309--347.
  • [Khovanov-Lauda]  A diagrammatic approach to categorification of quantum groups II. Trans. Amer. Math. Soc.  363  (2011),  no. 5, 2685--2700.
  • [Rouquier] 2-Kac-Moody algebras, (2008).
  • [Rouquier] Quiver Hecke algebras and 2-Lie algebras, Algebra Colloquium 19 (2012), 359—410.