Archive 2020
Prérequiscours algèbres d'opérateurs I et II
Validationexamen
EnseignantFrançois Le Maître
Horaires hebdomadaires 4 h CM
Années

Syllabus

Ce cours est le troisième volet d'un parcours explorant les liens profond existant entre les algèbres d’opérateurs, la théorie géométrique et la théorie mesurée des groupes discrets dénombrables. Les algèbres d’opérateurs, introduites par Murray et von Neumann entre 1940 et 1950 dans l’optique de formaliser les concepts de la mécanique quantique, ont connu des progrès spectaculaires, en lien avec la théorie ergodique et la théorie des groupes, ces 15 dernières années. Ce parcours présentera quelques uns de ces résultats très récents ainsi que les techniques modernes qui permettent de les obtenir.

Ce troisième cours portera sur les sous algèbres abéliennes maximales d’une algèbre de von Neumann finie. On étudiera en détail le lien entre ces dernières et les actions préservant une mesure de probabilité de groupes dénombrables. Plusieurs résultats profonds, tels que l’unicité de la Cartan dans le facteur hyperfini II1 (Connes-Feldman-Weiss, 1981) et la trivialité du groupe fondamental de L(SL2(Z)nZ2) (Popa, 2001), seront démontrés.

Sommaire

  • Masas dans les facteurs II1 :Types: Cartan, semi-régulier, singulier.
  • Exemples en provenance des groupes.
  • Invariant de Pukanzky.
  • Théorie ergodique et masas
  • Bases de la théorie spectrale des transformations préservant une mesure de probabilité, exemples.
  • Masa associée à une transformation p.m.p., conjecture de Neshveyev-Størmer.
  • Construction d’une relation d’équivalence p.m.p. à partir d’une Cartan.
  • Equivalence orbitale.Toute relation d’équivalence moyennable est hyperfinie (Connes-Feldman-Weiss).
  • Unicité de Cartan dans le facteur hyperfini II1.
  • Coût et trivialité du groupe fondamental de L(SL2(Z) n Z2)
  • Relations d’équivalence p.m.p., exemples en provenance d’actions de groupes.
  • Coût des relations d’équivalence p.m.p., coût des produits amalgamés (Gaboriau).
  • Trivialité du groupe fondamental de L(SL2(Z) n Z2) (Popa).

Bibliographie

  • A.M. Sinclair et R.R. Smith, Finite von Neumann algebras and masas.
  • A.S. Kechris et B. Miller, Topics in orbit equivalence.
  • C. Anantharaman et S. Popa, An introduction to II1 factors.