Archive 2020
PrérequisThéorie de Galois. Des rudiments de théorie des modèles et de géométrie algébrique pourront être utiles. Des rappels seront fait en cours, si besoin.
Validationexamen
EnseignantSilvain Rideau
Horaires hebdomadaires 4 h CM
Années Master Logique et Fondements de l'Informatique

Syllabus

Depuis ses débuts, les corps valués ont toujours eu une place de choix parmi les structures étudiés en théorie des modèles. L'une des raisons de cet intérêt est que leur lien fort avec l’arithmétique et la géométrie ont permis l’introduction dans d’autres domaines des mathématiques des techniques de la théorie des modèles, avec pour résultat, dans la plupart des cas, la résolution de questions ouvertes dans ces domaines.

L’un des premiers exemples d'une telle interaction est les travaux d’Ax-Kochen et indépendement Ershov qui donnent une solution à une conjecture d’Artin sur l’existence de solutions à des équations homogènes sur le corps des nombres p-adiques. L’un des principaux intérêts conceptuels de leur preuve est qu’elle réduit une question sur (certains) corps Henséliens de caractéristique nulle, en l’occurence la description de leur théorie, à cette même question sur leur corps résiduel et leur groupe de valeur. L’idée de cette réduction se retrouve ensuite dans la plupart des travaux sur la théorie des modèles des corps valués.

Le but de ce cours sera, en commençant par les questions d’élimination des quantificateurs, puis en allant vers des questions de théories des modèles plus « géométrique », en passant par la théorie de classification de Shelah, d’illustrer l’omniprésence de ce principe dit d’Ax-Kochen-Ershov en théorie des modèles des corps valués. Nous essayerons aussi, dans la mesure du possible, d’esquisser certaines des applications récentes de la théorie des modèles des corps valués.

Sommaire

  • Elimination des quantificateurs dans les corps algébriquement clos et dans les corps Henséliens de caractéristique nulle.
  • Théorème d’Ax-Kochen et Ershov, et solution de la conjecture d’Artin.
  • Étude d’un example important: les corps p-adiques.
  • La propriété d’indépendance dans les corps valués Henséliens.
  • Les imaginaires dans les corps valués.
  • Théorie des modèles géométrique des corps valués algébriquement clos.

Bibliographie