Archive 2020
Validationexamen
EnseignantMirna Dzamonja
Horaires hebdomadaires 4 h CM
Années Master Logique et Fondements de l'Informatique

Syllabus

La théorie des ensembles est connue pour des raisons diverses : pour sa prouesse en modélisation des mathématiques par certains et pour son agilité à manipuler la combinatoire de l’infini par d'autres. L’axiomatisation classique de la théorie des ensembles est donnée par les axiomes de Zermelo-Frankel avec l’Axiome du Choix (ZFC), mais elle connaisse des limitations. Une façon concrète de les étudier est donnée par la méthode du Forcing et les axiomes du forcing et leur positionnent par rapport de l’univers constructible L.

En suivant ce cours, l’étudiant déjà connaisseur des bases de la théorie axiomatique des ensembles, débutera sur les parties avancées du sujet. On expliquera la méthode du forcing, dont la preuve célèbre du fait que l’hypothèse du continu (HC) n’es pas démontrable en théorie des ensembles. En passant par d’autres exemples classiques du forcing, tels que l’Effondrement de Lévy, on sera naturellement amenés à l’étude d’itérations du forcing et d’Axiome de Martin, tout comme ces applications et les limitations.

Sommaire

  • Les classes propres modélisant ZFC, dont l’univers constructible L
  • La méthode du Forcing et la cohérence relative de la négation de HC
  • Quelques exemples classiques du forcing
  • L’Axiome de Martin MA
  • Quelques applications et quelques limitations de MA

Bibliographie

  • P. Dehornoy, Théorie des ensembles, Calvage et Mounet 2017
  • M. Džamonja, Fast Track to Forcing, Cambridge University Press 2020
  • T. Jech, Set Theory, 3rd Millenial Edition, Springer-Verlag, 2003
  • K. Kunen, Set Theory with Introduction to Independence Proofs, North-Holland 1980