Scolarité M2 (sauf MIC, MIDS)
- Mme Chatoux
- bureau 5055
- 01 57 27 93 06
- Mme Prudlo
- bureau 5055
- 01 57 27 93 06
Mathématiques financières
6 ECTS, semestre 2, 6 semaines
| Validation | CC+examen |
| Enseignant | Stéphane Crepey |
| Horaires hebdomadaires | 2 h CM , 4 h TD |
| Années | M1 mathématiques (MFA) |
Syllabus
- Pricing d'options Européennes dans un modèle discret à plusieurs périodes; cas du modèle de Cox-Ross-Rubinstein
- Arrêt optimal et application au pricing d'options Américaines
- Introduction au mouvement brownien et au calcul stochastique d'Itô.
- Pricing d'options dans le modèle de Black et Scholes
Sommaire
- Notions de base en mathématiques financières: taux d'intérêt, taux composés, capitalisation, prêts, actualisation, opportunité d'arbitrage, prix d'arbitrage
- Présentation de deux types de produits dérivés:
- les contrats à terme: calcul de leurs prix d'arbitrage.
- les options: option d'achat (call), option de vente (put)...
- Modèles
- Modèle à une période: titres de référence, stratégies de portefeuille, arbitrage, probabilité risque-neutre, prix d'une option Européenne, stratégie de couverture.
- Modèle d'arbre à plusieurs périodes (Cox-Ross-Rubinstein): probabilité risque-neutre, évaluation et couverture des options Européennes et des options Américaines.
- Modèle de marché financier en temps discret dans le cas général:
- Le modèle, opportunité d'arbitrage, probabilités martingales.
- Théorème de caractérisation de la propriété d'absence d'opportunité d'arbitrage par l'existence d'une probabilité martingale.
- Théorème de caractérisation de la propriété de complétude d'un marché (sans arbitrage) par l'unicité de la probabilité martingale.
- Evaluation et couverture des options Européennes dans un marché sans arbitrage complet.
- Théorie de l'arrêt optimal:
- Caractérisation de la fonction valeur comme la plus petite surmartingale majorant le processus payoff (enveloppe de Snell). Existence d'un temps d'arrêt optimal.
- Application à l'évaluation et a` la couverture des options Américaines dans un marché sans arbitrage complet. Temps d'exercice optimal.
- Introduction au calcul stochastique à temps continu.
- Processus stochastiques, martingales à temps continu, mouvement Brownien.
- Intégrale stochastique par rapport au mouvement Brownien, théorème de Girsanov.
- Modèle de Black et Scholes: probabilité martingale, formule d' évaluation risque-neutre, formule de Black et Scholes.
Bibliographie
Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, B. Lapeyre et D. Lamberton, Ellipses.