Maîtriser la planification l'exécution et l'optimisation de requêtes. Savoir-faire attendu d'un architecte de données

Consolidation des connaissances en algorithmique, connaissance des rudiments de la complexité et des approches algorithmiques classiques.

Le cours est en partie mutualisé avec le master Math-Info.

• les étudiants du M1 mathématiques suivent les deux parties du cours (sur 12 semaines)
• les étudiants du M1 mathématiques-informatique suivent la seconde partie du cours (sur les 8 dernières semaines). Les étudiants de cette filière peuvent néanmoins suivre la première partie s'ils le désirent.

La statistique mathématique permet d'ajuster un modèle probabiliste aux observations effectuées sur un phénomène. Ce modèle ajusté peut être utilisé pour expliquer (physique, ...), déterminer des causes (santé, ...), évaluer des risques (assurance, environnement, ...), ou prédire (notations, décision, ...). Ce cours introduit la statistique mathématique dans cette perspective. A l'issue de ce cours, vous saurez

• Construire un modèle statistique.
• Construire et valider un estimateur.
• Réaliser un test binaire.
• Choisir et valider un modèle.

Le cours s'appuie sur un environnement de calcul statistique (R ou Python)

Le cours s'articule autour de trois résultats fondateurs de Claude Shannon. Ce sont trois théorèmes mathématiques portant sur des problèmes de numérisation optimale et de transmission de l'information.

Le premier théorème s'intéresse à la compression des données : si on veut numériser un document, il est intuitivement clair qu'on va gagner en espace de stockage en codant de façon plus courte les caractères les plus fréquents et de façon plus longue les moins fréquents. Cette fréquence des caractères nous fera introduire le langage des probabilités et d'entropie de Shannon.

Le deuxième théorème s'intéresse à la transmission (ou stockage) sans pertes des données. On démontre qu'en introduisant un peu de redondance dans un document numérisé, on peut le retrouver malgré la perte aléatoire d'une partie de l'information. C'est encore ici le langage des probabilités qui est utilisé. En plus de l'entropie, apparaît ici la notion de capacité d'un canal de transmission.

Le troisième est le théorème d'échantillonnage. Une information peut être une fonction d'une variable réelle. Le théorème d'échantillonnage nous explique comment, en prenant la valeur de cette fonction en un nombre fini de points, on peut reconstruire l'information. On tient compte pour cela des fréquences de notre fonction. L'analyse faite ici est basée sur la théorie des séries de Fourier.

Les axiomes de grands cardinaux postulent l'existence de cardinaux ayant un degré de transcendance donné par rapport aux petits cardinaux et fournissent une superstructure pour l'analyse des énoncés mathématiques forts. L'étude de ces axiomes est en effet un courant dominant de la théorie moderne des ensembles. Par exemple, ils jouent un rôle crucial dans l'étude des ensembles définissables de réels et de leurs propriétés de régularité telles que la mesurabilité de Lebesgue. Bien que formulées à différents stades du développement de la théorie des ensembles et avec des motivations différentes, il s'est avéré que ces hypothèses former une hiérarchie linéaire allant jusqu'à l'incohérence. Toutes les propositions connues de la théorie des ensembles peuvent être évaluées dans cette hiérarchie en fonction de leur force de cohérence, et la structure émergente des implications fournit une image remarquablement riche, détaillée et cohérente des propositions les plus fortes des mathématiques telles qu'elles sont intégrées dans la théorie des ensembles.

Les données sont des résultats d'expériences ou d'enquêtes mesurés, observés, sur un certain nombre d’individus. Il s'agit soit de nombres (variable quantitative), soit de codes (variable qualitative). L’analyse des données est un outil perfectionné de statistique descriptive, qui consiste à étudier un jeu de données individus x variables en recherchant notamment s'il existe des relations entre individus et entre variables. On peut distinguer 3 groupes de méthodes : la statistique descriptive classique qui permet l’étude d'une ou deux variables observées sur un ensemble d'individus, des analyses portant sur des nuages de points de plus grande dimension, ainsi que la classification automatique consistant à regrouper des individus en catégories homogènes relativement à tel ou tel critère. Comme les tableaux de données peuvent être très grands en pratique, ce qui nécessite des calculs sur ordinateurs, le module comprend des séances de Travaux Pratiques avec le logiciel R.

Ce cours est le troisième volet d'un parcours explorant les liens profond existant entre les algèbres d’opérateurs, la théorie géométrique et la théorie mesurée des groupes discrets dénombrables. Les algèbres d’opérateurs, introduites par Murray et von Neumann entre 1940 et 1950 dans l’optique de formaliser les concepts de la mécanique quantique, ont connu des progrès spectaculaires, en lien avec la théorie ergodique et la théorie des groupes, ces 15 dernières années. Ce parcours présentera quelques uns de ces résultats très récents ainsi que les techniques modernes qui permettent de les obtenir.

Ce troisième cours portera sur les sous algèbres abéliennes maximales d’une algèbre de von Neumann finie. On étudiera en détail le lien entre ces dernières et les actions préservant une mesure de probabilité de groupes dénombrables. Plusieurs résultats profonds, tels que l’unicité de la Cartan dans le facteur hyperfini II1 (Connes-Feldman-Weiss, 1981) et la trivialité du groupe fondamental de L(SL2(Z)nZ2) (Popa, 2001), seront démontrés.

Maîtrise des techniques d'optimisation utilisées en Machine Learning

Travail personnel sur une méthode statistique ou une méthode de Mathématiques financières. Exploration de données concrètes. Choix, développement et ajustement d'un modèles. Rédaction d'un rapport.

Ce cours sera une continuation naturelle du cours de théorie des modèles du premier semestre. On cherchera à comprendre et classifier les modèles d'une théorie du 1er ordre donnée à travers les types que l'on peut réaliser ou omettre.

Le programme est organisé autour de tâches relevant des activités langagières définies dans le Cadre européen commun de référence pour les langues (CECR)

• la réception (écouter, lire)
• la production (s'exprimer oralement en continu, écrire)
• l'interaction (prendre part à une discussion)
• la médiation (agir comme un acteur social qui construit, transmet du sens)

Le but du cours est d’énoncer les principaux résultats de la « théorie du corps de classes » et d’en donner une démonstration aussi complète que possible dans le temps imparti. Le but de cette théorie est d’obtenir une description des extensions abéliennes d’un corps local ou global en terme de l’arithmétique de ce corps. Le contenu du cours sera utile à tout étudiant intéressé par la théorie des nombres, la géométrie arithmétique ou les formes automorphes.

Ce cours entend fournir aux étudiants les principes de base des mathématiques de l'assurance. Dans ce cours, on aborde la théorie économique à la base des choix d'assurance, les méthodes de calcul des primes, les mesures de risque et la détermination de la marge de solvabilité ainsi que du capital économique.

Ce cours a pour but de comprendre les protocoles de la cryptologie symétrique et d'assimiler les notions de complexité dans une pratique réelle de la cryptologie.

La géométrie algébrique est l'étude des « objets » géométriques définis par des équations polynomiales. Un premier chapitre du cours reprend donc l'étude de l'anneau des polynômes en plusieurs variables et expose en particulier la correspondance entre algèbre (idéaux radicaux) et géométrie (parties fermées pour la topologie de Zariski) lorsque le corps de base est algébriquement clos. Le cours se poursuit avec l'introduction de l'espace projectif. À ce stade de l'élaboration du programme, les deux derniers chapitres sont des propositions. La première exposerait la théorie des courbes planes et notamment le théorème de Bézout sur le nombre de points d'intersection de deux courbes. La seconde introduirait des rudiments de géométrie algébrique réelle, où un phénomène nouveau apparaît.

• Les axiomes de ZF
• Ordinaux, Cardinaux, récurrence transfinie
• Arithmétique ordinaux et cardinaux
• Axiom du Choix et équivalents, filtres et ultrafiltres
• Cofinalité, cardinaux réguliers/singuliers, théorème de König
• Ensembles stationnaires, clubs, Lemma de Fodor
• Absoluité et théorèmes de reflexion
• L'universe constructible

Mettre en œuvre les méthodes d’exploration classique: régression, réduction de dimension, classification. Usage des outils de visualisation et de manipulation de données (R/Python)

L'objectif du cours de "probabilités et extrêmes" est de donner les bases mathématiques fondamentales pour l'étude ultérieure de modèles stochastiques, de modèles du risque et des questions de modélisation aléatoire ou statistique. Les outils probabilistes fondamentaux sont présentés dans ce cours (vecteurs gaussiens, loi conditionnelle, théorie des martingales, théorie des valeurs extrêmes, chaines de Markov). Ils sont un prérequis fondamental à l'étude des processus en temps continu comme les processus de Poisson et le calcul stochastique.

Théorie des types de base:

• Système de types purs
• Théorie des types de Martin-Löf
• Calcul des constructions inductives
• La correspondance preuve/programme
• Discernabilité et indiscernabilité des preuves − Types inductifs et coinductifs
• Extensionalité en théorie des types

Théorie des types homotopique :

• La correspondance type/espace, égalité/chemin
• Concepts homotopiques en théorie des types (espaces contractibles, h-niveaux, univalence, systèmes de factorisation faibles, fibrations, cofibrations)
• Type inductifs supérieurs (sphères, quotients, troncations,...)
• Axiome du choix et logique classique en théorie des types homotopique

Modèles :

• Catégories de famille
• Théorie des types cubique − Traductions internes
• ω-groupoïdes
• Complexes de Kan

• Pricing d'options Européennes dans un modèle discret à plusieurs périodes; cas du modèle de Cox-Ross-Rubinstein
• Arrêt optimal et application au pricing d'options Américaines
• Introduction au mouvement brownien et au calcul stochastique d'Itô.
• Pricing d'options dans le modèle de Black et Scholes

Ce cours d'algèbre se concentre sur trois aspects :

• étude approfondie de la divisibilité dans les anneaux (anneaux factoriels, notamment) ;
• modules de type fini sur un anneau principal, application à l'algèbre linéaire ($K[T]$-modules) et aux groupes abéliens de type fini ($\mathbb{Z}$-modules) ;
• représentations linéaires des groupes finis.

À ce niveau, il est intéressant de :

• donner des exemples sophistiqués — par exemple, pour les algèbres
  • corps non commutatifs (quaternions de Hamilton),
  • algèbre d'un groupe pour le produit de convolution (sous diverses formes, algébrique $K^{(G)}$, mesures de probabilité, algèbres des fonctions intégrables sur $\mathbb{R}$, éventuellement périodiques...)
• mettre en évidence les propriétés universelles de certaines constructions ;
• éventuellement, mettre en place le vocabulaire catégorique ;
• dans une direction opposée, expliquer aussi des méthodes algorithmiques pour effectuer certaines opérations algébriques (déterminer un générateur d'un groupe cyclique dont on connaît le cardinal, par exemple, ou bien une base d'un $\mathbb{Z}$-module, par opérations sur les lignes...)

Le cours présente les concepts fondamentaux de la théorie des catégories, illustrés de nombreux exemples. L’objectif essentiel est préparer l’accès aux applications actuelles des catégories en logique, en informatique théorique et en théorie de l’homotopie.

Le cours de Data Mining a pour objectif de présenter différentes techniques d'apprentissage supervisé (en classification et en régression) et non supervisé. L'apprentissage statistique désigne un ensemble de méthodes et d'algorithmes permettant d'extraire des informations pertinentes d'un ensemble de données et d'apprendre des comportements à partir d'exemples.

Depuis ses débuts, les corps valués ont toujours eu une place de choix parmi les structures étudiés en théorie des modèles. L'une des raisons de cet intérêt est que leur lien fort avec l’arithmétique et la géométrie ont permis l’introduction dans d’autres domaines des mathématiques des techniques de la théorie des modèles, avec pour résultat, dans la plupart des cas, la résolution de questions ouvertes dans ces domaines.

L’un des premiers exemples d'une telle interaction est les travaux d’Ax-Kochen et indépendement Ershov qui donnent une solution à une conjecture d’Artin sur l’existence de solutions à des équations homogènes sur le corps des nombres p-adiques. L’un des principaux intérêts conceptuels de leur preuve est qu’elle réduit une question sur (certains) corps Henséliens de caractéristique nulle, en l’occurence la description de leur théorie, à cette même question sur leur corps résiduel et leur groupe de valeur. L’idée de cette réduction se retrouve ensuite dans la plupart des travaux sur la théorie des modèles des corps valués.

Le but de ce cours sera, en commençant par les questions d’élimination des quantificateurs, puis en allant vers des questions de théories des modèles plus « géométrique », en passant par la théorie de classification de Shelah, d’illustrer l’omniprésence de ce principe dit d’Ax-Kochen-Ershov en théorie des modèles des corps valués. Nous essayerons aussi, dans la mesure du possible, d’esquisser certaines des applications récentes de la théorie des modèles des corps valués.

Ce cours a vocation tout d’abord à fournir aux étudiants les éléments théoriques fondamentaux de l’allocation de portefeuille et de la formation du prix des actifs. Il aborde également les stratégies de gestion de portefeuille mises en œuvre en pratique par les gérants d’actifs et les problématiques qu’elles peuvent soulever en termes de gestion des risques.

Le projet est l'occasion de travailler un algorithme ou un protocole cryptographique de manière approfondie, en visant compréhension théorique et mise en œuvre algorithmique.

Les étudiants rédigent un mémoire (~15 pages) et réalisent une implantation informatique dont les performances sont démontrées lors de l'oral de soutenance. Le projet est réalisé en binôme.

Attention, ce cours aura lieu les 6 dernières semaines du 1er semestre et les 6 premières semaines du 2nd semestre.

Une moitié des heures de ces modules consistera en des cours, l’autre en des TP sur machine. Ces cours se concluront par un projet à réaliser en Coq. Le contenu de ces cours est un prérequis pour le cours de théorie des types homotopiques.

Ce cours est une introduction aux bases de données à travers l'apprentissage du langage de requêtes SQL et de la modélisation de données dans un modèle relationnel.

Ce cours a pour but de comprendre les protocoles de la cryptologie à clé publique et les mathématiques sur lesquelles ils reposent.

Entrainement et usage des réseaux de neurones profonds

Ce cours se veut le pendant pratique des cours de valorisation proposés dans le master en exposant les difficultés que rencontre le praticien (quant, trader, gérant ou risk manager) dans la valorisation et la gestion des risques de ce type de produits. Notre cas d’étude sera celui des produits hybrides equity/taux et equity/crédit qui concentrent plusieurs difficultés, que ce soit en matière de choix du modèle de valorisation où un arbitrage est constamment présent entre complexité du modèle et adéquation aux risques spécifiques au produit, ou pour la calibration des paramètres pour laquelle des instruments de marché ne sont pas toujours disponibles ou suffisamment liquides. Le cours débutera par un tour d’horizon des profils (payoffs) des produits dérivés et des modèles de valorisation (pricing) correspondants. L’accent sera mis sur l’adéquation entre payoff et modèle de pricing. On abordera ensuite les métriques de gestion quotidienne d’un portefeuille de produits dérivés. Le cours dressera enfin un panorama des tendances qui transforment ce marché, avec le poids croissant de la réglementation, le rôle des chambres de compensation ou la prise en compte des configurations de marché extrêmes dans la gestion des dérivés

On propose une introduction à la géométrie sous-riemannienne, notamment autour des questions de l'existence, caractérisation et régularité des géodésiques sous-riemanniennes. On introduira notamment le formalisme hamiltonien, qui est le langage naturel pour traiter ce genre de problèmes.

L’objectif du cours est de présenter plusieurs point de vue sur la complexité venant de la logique, de la théorie de la récursion ou de l’analyse. Ces approches ont pour point commun de s’abstraire de la notion de machine (et de ses mesures associées comme le temps et l’espace) au profit d’une vision plus descriptive du calcul. Le cours vise notamment à étudier des formalismes logiques sous l’angle de leur pouvoir d’expression et à présenter de multiples caractérisations des classes de complexité usuelles.

Ces approches de le complexité dîtes descriptives ou implicites ont connu des applications importantes en théorie des bases de données, des langages de programmation ainsi que plus récemment autour de l’analyse des systèmes d’équations différentielles, ou autour de la compréhension de la puissance de modèles alternatifs de calculs basés sur la bioinformatique, ou le calcul analogique.

On visera à présenter dans un premier temps des résultats sur la complexité classique [8, 13], pour aller vers des extensions à des modèles algébriques comme le modèle de Blum Shub et Smale [3, 2], à espace continus comme les modèles de réseaux de neurones/deep learning [17], puis à temps et espace continu comme le modèle de Shannon [16].

Ce cours introduit les outils de base des mathématiques financières et actuarielles, ainsi que les principaux actifs financiers et les produits d’assurance-vie. C’est un prérequis pour les cours de M1 et M2 sur les mathématiques financières, les modèles de taux, ainsi que sur les mathématiques de l’assurance et le risque de longévité.

Le but de ce cours est de présenter des avancements récents sur la géométrie d’Arakelov birationnelle. La géométrie d’Arakelov est une théorie de géométrie arithmétique, où plusieurs domaines mathématiques, comme géométrie algébrique, théorie des nombres, géométrie analytique interviennent naturellement. Elle consiste à «compactifier» les variétés sur un corps de nombres par des objets analytiques, en s’appuyant sur la comparaison avec la géométrie algébrique relativement à une courbe projective régulière.

La dernière partie du cours porte sur un travail récent en collaboration avec Moriwaki sur l’étude des schémas projectifs au-dessus d’une courbe adélique générale et leurs invariants arithmétiques.

Il s’agit d’une introduction au langage C# et par là même aux concepts de programmation orientée objet et de programmation fonctionnelle. On montre sur des exemples (et des exercices) comment ces notions facilitent la création de programmes pour répondre à des problèmes algorithmiques et mathématiques. Le cours comprend 10 séances de 4h (1/4 de cours et 3/4 de travaux pratiques). L’évaluation est basée sur une séance de TP notée, un examen écrit et un projet (en 2017 le projet porte sur l’algorithme MCTS pour les jeux).

L'objectif du cours est de maîtriser les modèles et méthodes stochastiques utilisés dans les salles de marché et d'acquérir les premières notions de la gestion des risques financiers. Les aspects mathématiques et financiers seront présentés en parallèle ; les nouveaux concepts mathématiques seront immédiatement illustrés par leurs applications à la finance. Pour le côté mathématique on abordera notamment le mouvement brownien et l'intégration stochastique ; la formule d'Itô, le changement de probabilité et les équations différentielles stochastiques. Pour le côté finance, on étudiera le modèle de Black et Scholes et ses extensions ; la technique de changement de numéraire ; la diffusion implicite de Dupire ; la valorisation d'options exotiques par Monte Carlo. Une place importante sera dédiée à la simulation, afin que les connaissances acquises soient directement opérationnelles. L'accent sera également mis sur la compréhension des limites de la modélisation, pour bien identifier les risques associés.

• Familiarisation avec les principales méthodes du traitement automatique des langues (TAL)
• Appliquer des notions d'apprentissage à la modélisation du langage. Cas de l'apprentissage structuré (séquences et arbres)
• Présentation / utilisation des principales librairies incluant des modules de TAL prêts à l'emploi (Spacy, NLTK)
• Présentation / utilisation de librairies génériques d'apprentissage profond pour le TAL (pytorch)

Rédiger un mémoire sur un sujet choisi avec un enseignant/chercheur du département de mathématiques

Ce cours est une continuation naturelle du cours "Calculabilité et incomplétude" du premier semestre. Les travaux de Godel, Church, Turing et d'autres, sur la définition formelle d'ensemble calculable, ont posés les bases sur lesquelles allait s'échafauder l'étude des degrés d'insolubilité : un important corpus de connaissances permettant de classer et comprendre l'univers des objets incalculables. Nous mèneront durant ce cours une étude détaillée de cet univers.

La calculabilité a aussi obtenu des succès majeurs en fournissant un cadre formel pour l'étude de certaines questions épistémologiques. Nous en verrons un exemple avec l'étude de l'aléatoire algorithmique. Nous verrons comment utiliser la calculabilité pour étudier avec une approche mathématique la question informelle de ce qu'est une suite de bits ``aléatoire''.

Le codage consiste à protéger une information de la dégradation physique, en lui ajoutant une redondance structurée. L'enjeu de la cryptographie est de maîtriser l'accès à des données ou des services, et les protéger de modifications ou copies malveillantes.

Ce cours est à la fois une introduction détaillée à ces domaines, et un cours d'algorithmique algébrique Dans ce cours, on décrit les bases théoriques de ces domaines et les principaux systèmes utilisés. On apprend aussi les techniques d'algorithmique algébrique employées pour les mettre en œuvre, ou pour attaquer les cryptosystèmes.

Le module de projet est l'occasion d'approfondir des thèmes qui ne sont qu'évoqués dans ce cours.

• Langages, structures, théories du premier ordre
• Ultraproduits, compacité.
• Extensions élémentaires, Théorèmes de Lowenheim-Skolem, chaînes élémentaires.
• Théorèmes de préservation.
• Va et vients.
• Élimination des quantificateurs, modèle-complétude.
• Espace des types.
• (Si le temps le permet) Typer réalisés et types omis, modèles atomiques.

L'objectif de ce cours est l'étude des modèles stochastiques de taux d'intérêt et des méthodes du pricing pour les dérivés de taux. Dans un premier temps les notions de base et les produits dérivés présents sur les marchés de taux seront introduits. La modélisation stochastique de taux d'intérêt sera étudié dans les cadres suivantes : modèles de taux court, modèle Heath-JarrowMorton et modèle de marché Libor (modèle BGM). Dans chacun de ces modèles les conditions de l'absence d'arbitrage seront trouvées et des méthodes du pricing risque-neutre des options seront présentées. Les modèles de taux plus récents dits multicourbe seront abordés à la fin du semestre.

En quoi la logique est-elle formelle ?

Le cours sera consacré à cette question. Il examinera en particulier trois grandes raisons de déclarer « formelle » la logique : parce qu’elle recourt à des ressources discursives qu’on peut dire formelles (schématiques) ; parce qu’elle porte sur des formes (dont le statut est à préciser : « constantes logiques » pour Russell, « formes dérivées du quelque chose en général » pour Husserl, pour prendre deux exemples importants) ; parce qu’elle vise à une validité indépendante de tout contenu particulier (logique comme science universelle).

Ces trois grandes raisons ne sont pas nécessairement compatibles. Par ailleurs, l’examen de la question posée impliquera bien entendu la prise en compte de l’histoire de la logique, et une réflexion sur la situation de la logique entre philosophie et mathématiques. Ce sera l’occasion d’examiner l’enjeu de la « généralité absolue », c’est-à-dire celui de la possibilité d’une théorie portant sur absolument toutes choses en général.

Compétences visées : connaissance des enjeux philosophiques de l’histoire de la logique au XXe siècle.

L'apprentissage par renforcement constitue, avec l'apprentissage supervisé et non-supervisé, l'une des trois grandes familles algorithmiques d'apprentissage automatique. Inspirée par la théorie de la décision et la psychologie comportementale, elle a pris une importance de premier plan ces dernières années en fusionnant avec d'autres méthodes d'apprentissage automatique, en particulier celle des réseaux profonds, donnant lieu à des champs d'application encore inexplorés.

• Connaitre les technologies modernes pour le traitement de données massives.
• Maitriser l’utilisation de librairies pour le traitement de données distribuées.
• Etre capable d’utiliser ces outils dans des cas concrets, en utilisant une solution cloud.

• Modélisation financière en temps discret
• Modélisation financière en temps continu
• Bases du calcul stochastique

On propose une introduction à la géométrie sous-riemannienne, notamment autour des questions de l'existence, caractérisation et régularité des géodésiques sous-riemanniennes. On introduira notamment le formalisme hamiltonien, qui est le langage naturel pour traiter ce genre de problèmes.

Prérequis:

Géométrie différentielle et Riemannienne (le cours de J. Marché à P6 ou [2] chapitres1-6, ou encore [1]) Équations aux dérivées partielles principalement elliptiques (Le cours de Yves Achdou & Xavier Blanc à P7 ou [3] chapitres 5-6)

Introduire les techniques algorithmiques utilisées en IA pour attaquer des problèmes complexes.

Savoir manipuler des outils d'analyse dans le cadre de la dimension infinie. Mise en oeuvre dans le cadre des espaces de fonctions

Présentation des méthodes d'apprentissage supervisé et non-supervisé: des modèles génératifs aux réseaux de neurones en passant par les techniques arborescentes.

Le but de ce cours est d'introduire à la théorie des représentations dite "supérieure", où les espaces vectoriels sont remplacés par des catégories et les actions par des foncteurs. Cette approche permet de démontrer, entre autres : des propriétés de positivité et des identités combinatoires (en "décatégorifiant"), des équivalences entre catégories abéliennes ou triangulées,l'existence de bases "canoniques" pour certaines représentations.

Ce cours s'insère dans la filière "Algèbre, groupes et représentations" mais certaines constructions topologiques (faisceaux constructibles et faisceaux pervers) seront aussi évoquées.

Renforcer la maîtrise des concepts liés au paradigme de programmation objets en montrant comment ils peuvent être implantés différemment. Apprendre le langage C++.

Connaître les principales techniques d'algorithmique et savoir évaluer leur complexité

• Concevoir des composants logiciels réutilisables.
• Comprendre les limites intrinsèques de la POO.
• Compléter l'approche objet à l'aide d'une approche fonctionnelle.
• Utiliser les mécanismes modernes de programmation typée statiquement du langage Scala.
• Savoir apprendre un langage de programmation de façon autonome.
• Analyser des besoins à partir d'une spécification informelle.
• Participer à un processus de développement moderne en utilisant les outils de développement collaboratif et de gestion de projet.
• Utiliser des outils d'intégration continue.

• Maîtriser la notion de transaction.
• Maîtriser l'organisation physique de la base de données et la gestion des transactions.
• Maitriser les triggers.
• Normalisation de bases de données

Le but du cours est d’énoncer les principaux résultats de la « théorie du corps de classes » et d’en donner une démonstration aussi complète que possible dans le temps imparti. Le but de cette théorie est d’obtenir une description des extensions abéliennes d’un corps local ou global en terme de l’arithmétique de ce corps. Le contenu du cours sera utile à tout étudiant intéressé par la théorie des nombres, la géométrie arithmétique ou les formes automorphes.

Le but du cours I est d’introduire les principaux objets qui vont intervenir dans l’énoncé et de démontrer au passage quelques théorèmes classiques de théorie algébrique des nombres. Il a donc un intérêt indépendamment du cours II.

Ce cours est le second volet d'un parcours explorant les liens profond existant entre les algèbres d’opérateurs, la théorie géométrique et la théorie mesurée des groupes discrets dénombrables. Les algèbres d’opérateurs, introduites par Murray et von Neumann entre 1940 et 1950 dans l’optique de formaliser les concepts de la mécanique quantique, ont connu des progrès spectaculaires, en lien avec la théorie ergodique et la théorie des groupes, ces 15 dernières années. Ce parcours présentera quelques uns de ces résultats très récents ainsi que les techniques modernes qui permettent de les obtenir.

Dans ce second cours, différentes propriétés d’approximations pour les groupes et algèbres de von Neumann, dont l’utilisation permet d’obtenir des résultats surprenant de rigidité, seront présentées et étudiées en détails.

L’objectif de ce cours est de donner une introduction à la théorie des représentations des algèbres semi-simples, en particulier des algèbres de groupes finis, et d’étudier plus précisément celles des groupes symétriques en interaction avec le groupe linéaire.

La théorie des ensembles est connue pour des raisons diverses : pour sa prouesse en modélisation des mathématiques par certains et pour son agilité à manipuler la combinatoire de l’infini par d'autres. L’axiomatisation classique de la théorie des ensembles est donnée par les axiomes de Zermelo-Frankel avec l’Axiome du Choix (ZFC), mais elle connaisse des limitations. Une façon concrète de les étudier est donnée par la méthode du Forcing et les axiomes du forcing et leur positionnent par rapport de l’univers constructible L.

En suivant ce cours, l’étudiant déjà connaisseur des bases de la théorie axiomatique des ensembles, débutera sur les parties avancées du sujet. On expliquera la méthode du forcing, dont la preuve célèbre du fait que l’hypothèse du continu (HC) n’es pas démontrable en théorie des ensembles. En passant par d’autres exemples classiques du forcing, tels que l’Effondrement de Lévy, on sera naturellement amenés à l’étude d’itérations du forcing et d’Axiome de Martin, tout comme ces applications et les limitations.

Le calcul des probabilités est un outil de modélisation construit sur des fondements issus de l'analyse: la théorie de la mesure et de l'intégration. Ce cours est illustré par une étude détaillée du comportement des collections de variables indépendantes. L'analyse permet de définir et d'étudier la convergence des suites de variables aléatoires. Les notions et techniques utiles aux statisticiennes et aux physiciens sont définies et étudiées ici: convergence en probabilités, loi des grands nombres, convergence en loi, théorème central limite. Le cours propose une construction de l'espérance conditionnelle, outil indispensable pour la théorie des martingales, le calcul stochastique, l'inférence bayésienne, et donc pour les mathématiques financières, les statistiques et bien d'autres spécialités. Enfin le cours abordera les inégalités de concentration, outil de la théorie de l'apprentissage.

Modéliser un phénomène à l'aide d'un système d'équations différentielles ordinaires et/ou à l'aide équations aux dérivées partielles. Caractériser l'existence, l'unicité des solutions. Caractériser les propriétés de ces éventuelles solutions. Approcher numériquement ces solutions par des algorithmes stables et efficaces. Coder ces algorithmes. Utiliser les bibliothèques de résolution disponibles en Scilab/Python.

Ce cours a pour but de comprendre comment améliorer la fiabilité des transmissions de données grâce à des principes d'algèbre.

Ce cours concerne l'étude de structures algébriques de base (groupes et anneaux) et de leurs propriétés. On met l'accent sur les manipulations effectives.

Sur le marché d’assurance, la demande est représentée par les individus/organismes qui souhaitent s’assurer contre les éventuelles pertes monétaires qui risquent de se produire dans le futur. L’offre est représentée par les compagnies d’assurance qui proposent de les couvrir contre les pertes que les individus sont susceptibles de subir en cas de sinistre. La spécificité du marché d’assurance est la présence de l’incertitude concernant la réalisation de sinistres dont les acheteurs et les vendeurs sont obligés de tenir compte. La Microéconomie de l’Assurance permet de modéliser et de comprendre le fonctionnement du marché d’assurance en combinant les outils mathématiques développés par la Microéconomie pour décrire le comportement de consommateur en absence d’incertitude avec les outils de la théorie de la décision dans l’incertain, qui permet de déterminer les règles de prise de décisions en présence d'incertitude. L’objectif de ce cours consiste à familiariser les étudiants avec des modèles microéconomiques du marché d’assurance, d’étudier ses mécanismes de fonctionnement, l'équilibre entre l’offre et la demande et leurs liens avec la prime d’assurance.

Usage des méthodes randomisées en traitement des données massives et en traitement des flots de données (streaming). Familiarisation avec Spark. Articulation estimation/optimisation

L'objectif de ce cours est d’abord de présenter les notions logiques de décidabilité et d'indécidabilité. On définit ensuite la notion de réduction entre problèmes. On présente enfin la notion de complexité qui prend en compte les ressources (temps de calcul, espace mémoire) nécessaires à la résolution d’un problème sur machine.

L'objectif de ce cours est d'exposer, d'un point de vue théorique mais sans recours excessif aux outils mathématiques, les méthodes indispensables à l'usage des statistiques inférentielles en milieu professionnel. Le cours magistral (2 h) introduit la modélisation statistique; il est accompagné de travaux dirigés (2h) et de travaux pratiques (2h) en langage R dont la connaissance parfaite est un pré-requis pour s'orienter vers la data science.

Le cours préliminaire sera du 2 au 13 septembre.

• Calcul des propositions : tables de vérité, tautologies, formes normales, compacité.
• Calcul des prédicats : langages du premier ordre, termes, formules, modèles ; satisfaction d’une formule dans un modèle ; sous-structures ; isomorphismes ; équivalence élémentaire.
• Théorie des ensembles : axiomes de Zermelo-Frænkel ; cardinaux ; théorèmes de Cantor et de Cantor- Bernstein ; ensembles finis, ensembles dénombrables.
• Introduction à la programmation : Mise à niveau en programmation fonctionnelle Ocaml ; Lien avec le lambda-calcul, récursivité, typage ML ; structures de données usuelles (booléens, entiers, listes, options, arbres, ...).

Projet sur un sujet de statistique ou d'analyse numérique à choisir dans une liste proposée par les responsables.

La géométrie algébrique est l'étude des ensembles définis des équations polynomiales à plusieurs variables à coefficients dans un corps, appelés variétés affines. On considère aussi les sous-ensembles des espaces projectifs définis par des équations polynomiales homogènes, de façon à obtenir des objets « compacts », les variétés projectives. Dès qu'on a défini les concepts de dimension et de lissité, on peut entamer un travail de classification (à isomorphisme près) des variétés projectives lisses connexes de dimension donnée, sur un corps fixé qui sera pour nous le corps des complexes. En dimension 1, on appelle ces variétés des courbes et un élément essentiel de leur classification est leur genre, un entier positif. Dès la dimension 2, la classification demande plus de travail mais est maintenant bien comprise depuis des décennies.

Les surfaces K3 seront le fil conducteur du cours mais j'en profiterai pour introduire divers outils classiques utilisés dans l'étude des surfaces algébriques.

Ce projet est conçu en partenariat avec RCI Renault Crédit International et offre aux étudiants l’opportunité d’effectuer une mission Data Science dans un cadre professionnel.

Le brief de la mission est proposé par RCI – par exemple un problème de score d’octroi sur des données extraites du data warehouse du donneur d’ordre RCI. Le cadrage est effectué par RCI et Karine Tribouley. Les étudiants effectuent la mission

• Production de solutions : méthodes et codes
• Mise en avant des performances des solutions
• Rédaction des livrables : rapports et codes

Pour le langage/logiciel à utiliser, R ou Python sont très fortement recommandés même si les étudiants sont libres de choisir d'autres langages ou logiciels parmi le C, le C#, Matlab, SAS, etc.

Ce cours introduit les outils de base des mathématiques financières et actuarielles, ainsi que les produits financiers et les contrats d'assurance-vie. C'est un pré-requis pour les cours de M2 portant sur les mathématiques de la finance ou de l'assurance.

Ce cours consiste en une initiation courte à la théorie analytique des nombres. Ce domaine se situe à l'interface avec beaucoup d'autres domaines des mathématiques : formes modulaires, géométrie algébrique, combinatoire ... Il s'agit de donner quelques repères (on démontrera le théorème des nombres premiers) et on évoquera quelques développements très récents sur les fonctions sommatoires de fonctions multiplicatives.

L'algorithmique des données massives, des flots, de la cryptologie utilisent la randomisation (les tirages aléatoires), et l'approximation pour traîter des problèmes qui sans cela seraient difficiles. Ce cours est approche systématique de ces méthodes et des méthodes de traitement distribuées.

Le but de ce cours est de présenter des avancements récents sur la géométrie d’Arakelov birationnelle. La géométrie d’Arakelov est une théorie de géométrie arithmétique, où plusieurs domaines mathématiques, comme géométrie algébrique, théorie des nombres, géométrie analytique interviennent naturellement. Elle consiste à «compactifier» les variétés sur un corps de nombres par des objets analytiques, en s’appuyant sur la comparaison avec la géométrie algébrique relativement à une courbe projective régulière.

Le cours commence par une introduction sur la géométrie des nombres classique et sa version moderne dans le langage de fibré vectoriel hermitien. Ensuite on introduit une géométrie de courbe adélique dont le corps «de nombres» sous-jacent est de type fini sur Q.

La théorie de l'homotopie, ou l'étude des espaces topologiques à déformation près, a fait surgir une branche de l'algèbre appelée algèbre homotopique, où sont développés les outils pour la description de structures où les lois telles que l'associativité ne sont plus vérifiées exactement comme en algèbre classique, mais à homotopie près, ces homotopies étant elles-mêmes sujettes à des cohérences, et ainsi de suite.

La théorie de l'homotopie a aussi une dimension logique, avec l'interprétation de la notion de type comme espace, de preuve d'égalité comme chemin dans un espace et de preuve d'égalité de preuves d'égalité comme une homotopie entre chemins. Ces liens ont donné naissance à la théorie homotopique des types. La notion de fibration, qui joue un rôle essentiel en théorie de l'homotopie, est intimement liée à la notion de substitution en théorie des types dépendants.

Le cours, qui fera suite au cours de théorie des catégories du premier semestre, mais peut être suivi par des étudiants ayant déjà acquis ces bases par ailleurs, introduira les notions importantes sous-jacentes au domaine: les catégories enrichies, les catégories de modèles, et différentes façons de définir les catégories supérieures, notamment via les ensembles simpliciaux. Seront abordés aussi des sujets connexes comme les opérades et les ∞-opérades, eux aussi issus de la topologie. Le cours s'appuiera en partie sur plusieurs ouvrages parus dans les années récentes (Categorical homotopy theory d' Emily Riehl, The homotopy theory of (∞, 1)-categories de Julia Bergner, From categories to homotopy theory de Birgit Richter, Higher categories and homotopical algebra de Denis-Charles Cisinski, Simplicial methods for higher categories de Simona Paoli, qui offrent autant de lectures d'approfondissement pour les étudiantes et étudiants intéressés), avec une attention portée aux liens avec la théorie homotopique des types.

L'objet du cours est une méthode remarquable introduite par Nash et développée par Moser, visant à résoudre des EDO ou des EDP non-linéaires. Cette méthode a été appliquée avec succès à différents problèmes d'analyse et de géométrie : plongement isométrique des variétés, conjugaison des difféomorphismes du cercle, théorème KAM, amortissement Landau...

Cours d'anglais de spécialité dispensés par le centre de LANgues pour Spécialistes d'Autres Disciplines (LANSAD).

Ce cours est le premier volet d'un parcours explorant les liens profond existant entre les algèbres d’opérateurs, la théorie géométrique et la théorie mesurée des groupes discrets dénombrables. Les algèbres d’opérateurs, introduites par Murray et von Neumann entre 1940 et 1950 dans l’optique de formaliser les concepts de la mécanique quantique, ont connu des progrès spectaculaires, en lien avec la théorie ergodique et la théorie des groupes, ces 15 dernières années. Ce parcours présentera quelques uns de ces résultats très récents ainsi que les techniques modernes qui permettent de les obtenir.

Le premier cours de ce parcours est une introduction aux algèbres d’opérateurs : C*-algèbres et algèbres de von Neumann.

• Calculabilité : fonctions récursives et fonctions calculables par machine ; caractérisation logique des fonctions calculables ; théorème smn et théorèmes de point fixe ; notions de réduction et problèmes indécidables.
• Introduction à la complexité : classes en temps et espace, théorèmes de hiérarchie, réductions, complétude, circuits booléens, introduction à la complexité algébrique.
• Arithmétique formelle : axiomes de Peano et sous-systèmes faibles ; arithmétisation de la logique ; théorèmes d’indécidabilité ; les théorèmes d’incomplétude de Gödel.

Ce cours a pour but de maîtriser les concepts de base du langage C. L'objectif à l'issue du semestre est d'être capable de programmer en utilisant les principales librairies du langage

Ce cours vise à présenter les fondements logiques et informatiques des blockchains (protocoles de communications, théorie des jeux), ainsi que des exemples de protocoles mis en oeuvre en particulier dans les crypto-monnaies et les smart-contracts. Nous consacrerons une partie substantielle du cours à l’examen de la "finance décentralisée” c’est-à-dire l’ensemble des contrats existants sur chaine qui reporoduisent et pour certains étendent les pratiques financières.

• Théorème de complétude du calcul des séquents égalitaire LK par les témoins de Henkin.
• Calcul des séquents : Élimination des coupures et théorème du séquent médian dans LK. Théorème de Herbrand. Sous-calcul LJ : la logique intuitionniste et son interprétation BHK. Propriétés de la sous-formule et du témoin existentiel dans LJ.
• Déduction naturelle : Systèmes NK et NJ. Élimination des coupures de NJ. Propriétés de la sous-formule et du témoin existentiel dans NJ, puis dans HA (arithmétique intuitionniste).
• Lambda-calcul : Propriétés de confluence et de standardisation. Représentation des fonctions récursives. Système T. Correspondance de Curry-Howard. Réalisabilité, normalisation forte et correction des programmes.

La théorie de la démonstration a connu au moins deux évolutions majeures au cours du siècle dernier suite aux théorèmes d'incomplétude de Gödel. La première a eu lieu dans les années 30, immédiatement après les résultats d'incomplétude, avec l'introduction et l'étude de la déduction naturelle et du calcul des séquents par Gentzen et du lambda-calcul par Church. Church montrait alors l'indécidabilité du calcul des prédicats via le lambda-calcul tout en introduisant un modèle de calcul universel tandis que Gentzen déduisait la consistance de divers systèmes logiques comme corollaire de l'élimination des coupures en calcul des séquents.

La seconde étape a eu lieu dans les années 60 avec la mise en évidence progressive, par le biais de la correspondance de Curry-Howard, des liens profonds entre preuves et programmes, depuis la correspondance entre lambda-calcul simplement typé et déduction naturelle propositionnelle minimale jusqu'aux diverses extensions de cette correspondance au second ordre, à la logique classique et jusqu'à l'émergence de la notion de linéarité en théorie de la démonstration. La logique linéaire a profondément renouvelé les liens entre la sémantique formelle des langages de programmation d'un côté et la théorie de la démonstration de l'autre. L'algèbre linéaire s'impose comme troisième pôle de cette correspondance, en mettant au centre la notion de ressource du calcul.

Le cours fondamental a traité de la première étape. Ce cours sera consacré aux développements depuis les années 60 et présentera les outils classiques pour l'étude de la correspondance de Curry-Howard. Après quelques rappels et compléments du cours fondamental, le cours se concentrera sur deux concepts fondamentaux, le second-ordre et la linéarité, et à leurs développements, notamment dans un cadre algébrique. On appliquera notamment les résultats du cours à l'étude de PCF, un langage de programmation idéalisé.