Géométrie différentielle

Sommaire

• Rappels et compléments de calcul différentiel dans $\mathbb{R}^n$ : théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites, théorème du rang constant,...
• Sous-variétés de $\mathbb{R}^n$ : diverses définitions (graphe, représentation paramétrique, redressement, équations) et leur équivalence; cartes locales. Exemples fondamentaux.
• Variétés abstraites. Cartes locales, atlas. Fonctions sur ces variétés. Morphismes de variétés. Exemples: quotient par un groupe discret opérant sans point fixe; revêtement.
• Sous-variétés.
• Partition de l'unité. Plongement d'une variété abstraite comme sous-variété d'un espace $\mathbb{R}^n$.
• Fibré tangent, fibré cotangent. Application tangente à un morphisme.
• Champs de vecteurs. Courbes intégrales. Flot d’un champ de vecteurs. Crochet de Lie. Groupes à un paramètre de difféomorphismes.
• Points critiques.
• Introduction aux groupes de Lie.
• Formes différentielles, cohomologie de de Rham.

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• Questions fréquentes